The subject of VERB1 and VERB2 are the same.
私は新聞をよみながら、（私は）ごはんを食べます。
Note that 私 is the subject of both the first verb よみ and the
second verb 食べます.
C.f.,
私が新聞を読んでいるあいだ、子どもはごはんを食べます。
MAIN ACTION = VERB2: （ごはんを食べます）
C.f.,
私は新聞をよみながら、ごはんを食べます。
vs.
私はごはんを食べながら、新聞をよみます。
The tense of VERB2 implies the tense of VERB1 .
C.f.,
私は新聞をよみながら、ごはんを食べます。
(non-past event ながら non-past event)
vs.
私は新聞をよみながら、ごはんを食べました。
(past event ながら past event)